.RU

Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода 13. 00. 02 теория и методика обучения и воспитания (математика) - страница 4


, которая предполагает исследование, исходящее из достаточно значимых положений T01;…;T0k Th(S), выбранных по критерию (24). Индуктивная гипотеза Н, выдвинутая на основе этих положений, имеет больше шансов «материализоваться» как логическое обобщение исходных посылок. Существование «узловых точек» созвучно современным психологическим концепциям в области теории интеллекта (Холодная М.А.; Glaser R., 1984), по которым «узловые точки», обладая повышенной чувствительностью к семантическим воздействиям, могут качественно изменять характер понимания проблемной ситуации.

GMP-стратегия и проблемы Гильберта. Наглядной иллюстрацией оптимизации креативного поиска в рамках GMP-стратегии является решение известных проблем теории чисел, а также проблем Гильберта (1900), о которых точно известна хронология их постановки и решения. Анализ показывает, что, если период разрешения проблем Гольдбаха, Варинга и Ферма в теории чисел составляет сотни лет, то проблематика Д.Гильберта при своем разрешении показывает уникальный результат, который оказывается на 1-2 порядка меньше. Важно отметить, что выбор 23 проблем из широкого многообразия математической проблематики рубежа XIX-XX вв. подразумевал вполне определенные «правила селекции», смысл которых, по сути, сводится к реализации GMP-стратегии.

GMP-стратегия – как выражение концепции канона. Канон понимают как формирующее начало, генезис которого сводится к последовательному созданию устойчивых семантических образований и представляет некий алгоритм обучения, проводимый в рамках GMP-стратегии. Для примера рассматривается теория государства, генезис которой исходит из канонов демократии, и GMP-стратегия связана с аксиоматизацией принципа социальной справедливости в государстве, который определяется принятием решения большинством голосов. Развитие канона демократии в русле аксиоматической теории привело к созданию теории кооперативных игр, элементы которой представляют содержание школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), реализующего канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний

GMP-стратегия – как выражение идеи изоморфизма. В.Г.Болтянский при рассмотрении принципа наглядности пришел к формуле: наглядность = изоморфизм + простота. Сценарий GMP-стратегии в рамках концепции изоморфизма в процессе обучения демонстрируют следующие примеры:

концепция изоморфизма при решении текстовых задач школьной алгебры: из множества текстовых задач выделяются три класса задач – о заполнении резервуаров, на движение и на совместно произведенную работу, определяющие параметры и отношения которых связаны взаимно однозначным соответствием, позволяющим унифицировать методы решения текстовых задач в 9-м классе средней школы.

операторная версия комплексных чисел в планиметрии: в данном случае при решении планиметрических задач в рамках элективного курса (10-11классы) используется изоморфизм между группой операторов поворота векторов плоскости и унимодулярной группой комплексных чисел , где С – поле комплексных чисел; =1.

концепция изоморфизма и задачи линейного программирования(ЛП): проводится на междисциплинарном уровне обучения в рамках дисциплины по выбору специальности 032100.00 и, в усеченной версии элективного курса для 10-11 классов профильного экономического и физического обучения в школе, на примере задач ЛП; этот класс традиционно включает задачи экономического характера (транспортная задача, задача о планировании производства и др.), пополняется задачами физико-технического содержания (оптимизация освещенности, процесса электролиза и др.) и обобщается задачами нелинейной оптимизации, которые сводятся к линейным моделям.

GMP-стратегия при реализации интегрированного обучении на основе концепции центризма проводится, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести).


^ Концепция барицентра при определении объемов многогранников и круглых тел на уроках геометрии. Речь идет о проведении лабораторных работ на уроках геометрии, в рамках которых с помощью взвешивания определяются формулы для объемов призмы, пирамиды, конуса и шара. В частности, для определения объема шара, путем взвешивания (рис.2) убеждаемся, что два цилиндра уравновешиваются тремя шарами. Тогда, если mц; mш – массы цилиндра и шара, то 2mц=3mш , т.е.2Vц=3Vш, т.к. тела выполнены из одинакового материала. По формуле объема цилиндра имеем Vц=Sh=R22R=2R3=1,5Vш и , где R – радиус шара, т.е. путём взвешиваний устанавливается формула для вычисления объёма шара.

^ Концепция барицентра в популяционной генетике. Концепция барицентра в этом случае проводится в виде барицентрических координат, которые позволяют описывать передачу наследственных признаков от поколения к поколению в рамках законов Г.Менделя, что позволяет определить равновесные состояния популяции, характеризуемые законом Харди-Вайнберга. Данный вариант GMP-стратегии междисциплинарного обучения сводит сразу три дисциплины; механику, геометрию и биологию.

^ Концепция колориметрического барицентра (КБЦ) и феномены психологии творчества и восприятия живописных произведений. Реализация GMP-стратегии в этом случае сводится к формализации живописного образа в виде поверхности изображения Im, с каждой точкой которой связан оттенок цветового пространства F, так, что образуется некоторое подмножество декартова произведения ImF, представляющее смысловое пространство рассматриваемого живописного образа, являющееся объектом восприятия. Концепция КБЦ предусматривает построение отображения: ImF W, которое каждой точке живописного образа, в зависимости от ее цвета, ставит в соответствие неотрицательное число из множества W, рассматриваемое в качестве «колориметрической» массы данной точки. Данное отображение определяет структурно-колориметрический спектр живописного образа, по которому, на основе формул механики, находится его КБЦ, с его положением связаны особенности композиции данного произведения. Исследования проведены с помощью специальной ИКТ (Фирстов В.В., 2006), реализующей прямую загрузку больших массивов анализируемого живописного материала с порталов ведущих картинных галерей мира. Как показал компьютерный анализ 1174 картин различных жанров, школ и эпох, концепция КБЦ отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве. Материалы этого исследования внедрены на кафедре культурологии Саратовского государственного технического университета профессором А.В.Волошиновым в виде лекций и практических занятий, а также в процессе руководства курсовыми и дипломными работами студентов. Цели такого обучения в области эстетики ясно обозначил Платон, который в IV в. до н.э. отмечал, «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». Тем не менее, в античные времена зародилась идея о том, что у колыбели гуманитарного знания все-таки стояли рациональные принципы.

^ В четвертой главе «Опыт управления креативными процессами при формировании умений и навыков математического исследования в учебном процессе» демонстрируется методика проведения GMP-стратегии – как одной из концепций в дидактике математического творчества, которая схематично представлена на рис.3.




В учебном процессе этот аспект отрабатывался на основе авторских монографий [1-4], материал которых составил содержание элективных курсов профильного уровня обучения математике и, в расширенной версии, тематику спецкурсов, а также курсовых и дипломных работ для студентов специальности 032100.00. Ниже даны контуры методики построения спецкурсов на основе GMP-стратегии, исходя из теоремы Пифагора.

Задача Пифагора: новые интерпретации и генеалогия пифагоровых троек.

Исходный пункт. Задача Пифагора о нахождении натуральных решений

уравнения x2+y2=z2, называемых пифагоровыми тройками.


Этап 1. Общее решение задачи Пифагора дано Евклидом и имеет вид:

x=2ab; y=(); z=(, (25)

где a;bN, b>a и пара (b;a) образует так называемую примитивную пару взаимно простых чисел разной четности.

Этап 2. Дается изящное решение задачи Пифагора, опирающееся на свойства поля комплексных чисел. Пусть (b;a) – примитивная пара, с которой в комплексной плоскости проводятся следующие преобразования:

(26)

где x;y;z совпадают с решением (25) и представляют пифагорову тройку.

Этап 3. Имеет место взаимно однозначное соответствие (x;y;z)→ (b;a), которое в рамках (25);(26) при геометрическом толковании операций с комплексными числами приводит к оригинальному решению задачи Пифагора путем построения с помощью циркуля и линейки.

Этап 4. Обобщение решения (25) получается, если его представить в виде: z – y = 2; z + y = 2. (27) Система (27) определяет два семейства парабол на конусе, которые образуют сеть, узлы которой определяют пифагоровы тройки с координатами (x;y;z).

Далее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00, дается полугрупповое обобщение задачи Пифагора, которое приводит к изящной интерпретации решения в виде трихотомического дерева, определяющего генеалогию пифагоровых троек.


Обобщенные пифогоровы построения (ОПП).

Исходный пункт. Конфигурация квадратов в виде «пифагоровых штанов» используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора.

Этап 1.От этой конфигурации строится неограниченная сеть квадратов, ,
представляющая ОПП, топологию которых определяет бесконечный граф, являющийся одновременно эйлеровым и гамильтоновым (рис.4).

Этап 2. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов, в каждой из которых соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида: un+2=5un+1 – un . (28)

Этап 3. Одноимённые вершины квадратов соответствующих серий ОПП (например, A1; A3; A5; …; A2n-1,B1; B3; …; B2n-1, B2; B4; …; B2n и т.п., располагаются на гиперболе и всего, таким образом, получается 12 гипербол, имеющих общий центр в точке пересечения медиан ΔA1B1C1.


Д
алее, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00:

Этап 4. Решение уравнения (28) представляется в виде дерева с переменной ветвистостью, которое описывается в виде ультраметрического

пространства (С.Л.Гинзбург, 1989), фрактальная размерность которого равна (1/ln5)ln(0,5(+5))0,9735, при топологической размерности 0.

Этап 5. Устанавливается наличие общей связи между рекуррентными уравнениями 2-го порядка Un+2=pUn+1+qUn и коническими сечениями, включая вырожденные случаи. В частности, при p+q-10 тип конического сечения зависит от дискриминанта D характеристического уравнения: гипербола при D>0, парабола при D=0, эллипс – при D<0.

Таким образом, данные процедуры обобщений теоремы Пифагора довольно быстро приводят к результатам довольно высокого уровня, что свидетельствует об эффективном обучении математике в рамках GMP-стратегии. Помимо этого, реализованы варианты GMP-стратегий на основе иных математических предпосылок. Исходя из теоремы о делении с остатком, в рамках школьного факультатива или спецкурса для студентов, продемонстрированы феномены теории чисел реологические числа, отражающие неординарные свойства арифметических идемпотентов. В другом случае происходит обобщение канона классических магических квадратов, которое приводит к построению теории магических квадратов из домино (МКД), в рамках которой определен общий алгоритм эффективного перечисления таких объектов, реализуемый в рамках ИКТ. В частности, определены все 957078 МКД размера 44, которые реализуются в 9 вариантах укладки; для 66 таких укладок оказывается 930, а их количество в реальное время определить пока не удается.

^ В заключении констатируется, что результаты диссертационного исследования, проведенного в русле принятой концепции, позволяют обосновать правомерность принятой гипотезы, и тем самым, реализовать поставленные цели и задачи данного исследования. Поэтому можно утверждать, что разработка теории математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент совершенствования школьного обучения математике. Наиболее важными представляются следующие общие моменты:

1). Разработка теории математических моделей в дидактике обеспечивает ей переход с уровня феноменологической теории на логико-математический уровень развитой теории, на котором, кроме функций фиксации и систематизации знаний, появляются также функции приращения, объяснения и предсказания результатов процесса обучения. Последний фактор имеет высокую значимость, т.к. на современном этапе школьная математическая подготовка подразумевает не только высокий уровень знаний предмета, но также приобретение компетенций, позволяющих реализовать эти знания в виде математической модели в рамках ИКТ.

2). Теория математических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе исходит из информационной сущности учебных процессов, воздействие на которую реализует управление этими процессами в соответствии с поставленными целями. Целевое воздействие может проводиться на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в данном учебном процессе, на основе которых формируются модели управления этими процессами.

3). Управление учебным процессом воздействием на количественный аспект информации образовательного контента проводится по критерию минимума информационной энтропии данного процесса (оптимизация 1-го рода). Разработана следующая система базисных моделей, управление которыми сводится к оптимизации 1-го рода:

«Сократовский» диалог, алгоритм которого формируется на основе концепции развивающего обучения Л.С.Выготского и на этой основе построена модель обучающей ЭС общего назначения, реализующая управление показателями успеваемости учащихся в процессе обучения в рамках ИКТ;

Организация эффективного группового сотрудничества на занятии путем оптимального разбиения обучаемого контингента на группы по критерию минимума групповой энтропии;

Процедура оптимизации тематического планирования учебного процесса путем эффективного разбиения образовательного контента на дидактически законченные фрагменты, благоприятные для усвоения.

4). Управление учебным процессом воздействием на качественный (семантический) аспект информации образовательного контента сводится к оптимизации его «топологического портрета» в рамках когнитологической модели (оптимизация 2-го рода), реализованной в моделях формирования образовательного контента, креативной педагогики и междисциплинарного обучения.

5). Модели формирования образовательного контента строятся в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, которая надлежащим образом метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры оптимизации для управления качественными аспектами данной системы знаний, что позволяет выделить следующие классы задач сетевого управления:

Оптимизация предметного содержания путем совершенствования аксиоматики теории, показанная на примере школьного курса геометрии;

Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях путем минимизации его длины или емкости, которая способствует эффективной реализации дидактических принципов при обучении математике в школе;

Ранжировка значимости элементов семантической сети при формировании креативного поиска в школьном обучении математике.

6). Создана общая теория управления креативными процессами при обучении математике как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом по критерию значимости, который задается в виде отношения доминирования между элементами семантической сети, представляющей предметное содержание, что приводит к «концепции больших узловых точек» или GMP-стратегии (great main points) для реализации эффективного поиска при обучении математике.

8). Опыт управления креативными процессами в учебном процессе на основе GMP-стратегии, апробирован в следующих формах:

Путем анализа методики постановки и разрешения известных математических проблем Д.Гильберта (1900);

В различных сценариях обучения на основе авторских монографий [1-4], в которых математическое исследование формируется в русле GMP-стратегии, исходящей из теоремы Пифагора;

В различных сценариях обучения на основе оригинальных авторских исследований в области реологических чисел [4;23] и магических квадратов из домино [4;26], где GMP-стратегия проводится, соответственно, из теоремы о делении с остатком и канона классических магических квадратов.

9). Проведение GMP-стратегии при реализации межпредметных связей математики в процессе обучения осуществляется в рамках некоторой общей методологии, представленной в следующих вариантах:

GMP-стратегия, исходящая из канона демократии путем аксиоматизации идеала справедливости на основе принятия решения большинством голосов, который формирует модель государства, составляя содержание школьного факультатива при обучении обществознанию.

GMP-стратегия, проводимая в категории морфизма на основе управления дидактическим принципом наглядности, и демонстрируемая с помощью текстовых задач школьной алгебры, операторной версии комплексных чисел в планиметрии и задач линейного программирования.

GMP-стратегия, проводимая на основе концепции центризма, исходя из архимедовой концепции барицентра (центра тяжести). На этой основе реализован лабораторный практикум по определению объемов школьных многогранников и круглых тел путем взвешивания; барицентрические координаты описывают законы наследственности Г.Менделя, реализуя приложения математики в генетике; концепция колориметрического барицентра, как выяснилось, отражает цветовой баланс живописного произведения и выражает каноны эстетики в живописном творчестве.

Естественно, выполненное исследование не исчерпывает всех аспектов проблемы, сформулированной в данной диссертационной работе, однако можно говорить о том, что область приложений кибернетики в педагогике довольно широкая и вряд ли будет уменьшаться. По-прежнему, остаются проблемы эффективной интеграции ИКТ в образовательное пространство, т.к. прогресс в области ИКТ сильно опережает темпы их внедрения в учебные процессы. Далека от разрешения проблематика параллельных алгоритмов в обучении, начатая в свое время П.М.Эрдниевым путем укрупнения дидактических единиц в математике. Наконец, не исчерпан арсенал идей в области междисциплинарного проведения GMP-стратегии.


mezhdugorodnie-kabelnie-linii-svyazi.html
mezhdunarodnaya-bezopasnost-i-globalnie-ugrozi-chast-3.html
mezhdunarodnaya-bezopasnost-i-globalnie-ugrozi-chast-8.html
mezhdunarodnaya-ekonomicheskaya-integraciya.html
mezhdunarodnaya-ekonomika-osnova-razvitiya-chast-6.html
mezhdunarodnaya-investicionnaya-deyatelnost.html
  • pisat.bystrickaya.ru/teploakkumuliruyushij-material-i-preobrazovatel-solnechnoj-energii-na-ego-osnove.html
  • knigi.bystrickaya.ru/spasitelnaya-sila-lyubvi-i-druzhbi-v-stihotvorenii-a-s-pushkina-vo-glubine-sibirskih-rud.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/rukovodstvo-k-vospitaniyu-okkultnih-sil-v-cheloveke-stranica-8.html
  • tests.bystrickaya.ru/kratkij-kurs-matematicheskogo-analiza-v-lekcionnom-izlozhenii-dlya-studentov-mgtu-im-n-e-baumana-tretij-semestr-veroyatnost.html
  • university.bystrickaya.ru/general-dorohov-i-borodinskaya-bitva.html
  • reading.bystrickaya.ru/lazeri-na-geteroperehodah-poluprovodnikovie-lazeri.html
  • literatura.bystrickaya.ru/sovmestno-s-elenoj-minilbaevoj-stranica-23.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vii-harakternost-rabota-nad-soboj-v-tvorcheskom-processe-voplosheniya.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/totalitarizm-chast-5.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/ob-utverzhdenii-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-kaliningradskoj-oblasti-na-2007-2016-godi.html
  • lecture.bystrickaya.ru/6-informacionnij-portal-rabota-v-rossii-i-oficialnie-sajti-organov-sluzhbi-zanyatosti-naseleniya-deyatelnost-po-perehodu-na-okazanie-gosudarstvennih-uslug-v-elektronnom-vide.html
  • report.bystrickaya.ru/k-sobstvennim-nenalogovim-dohodam-zakonu-ot-6-oktyabrya-2003-g-n-131-fz-ob-obshih-principah-organizacii-mestnogo.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vernopoddannij-trilogiya-imperiya-stranica-15.html
  • notebook.bystrickaya.ru/instrukciya-po-podgotovke-i-zapolneniyu-zayavki-na-uchastie-v-aukcione-11-podacha-zayavok-na-uchastie-v-aukcione-15-rassmotrenie-zayavok-na-uchastie-v-aukcione-17-provedenie-aukciona-18-stranica-15.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-iv-francuzskij-ustav-marion-melvil.html
  • books.bystrickaya.ru/byudzhet-vremeni-v-nedelyah-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-visshego-professionalnogo-obrazovaniya-napravlenie-podgotovki-260200.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-uchebnij-plan-na-2010-2011-uchebnij-god-dlya-nachalnogo-obrazovaniya-iv-programma-formirovaniya.html
  • writing.bystrickaya.ru/bolshaya-enciklopediya-massazha-stranica-6.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-ot-13-yanvarya-2003-goda-n-6-ob-utverzhdenii-pravil-tehnicheskoj-ekspluatacii-elektroustanovok-potrebitelej-prikazivayu.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/novogodnyaya-skazka-v-biblioteke.html
  • occupation.bystrickaya.ru/ne-rabotayut-opcii-avtopodklyucheniya-osnovi-programmi-gearbox-avtonomnoe-prilozhenie-plagin-onlajn-pomosh-zapis-i.html
  • nauka.bystrickaya.ru/ukaz-prezidenta-rossijskoj-federacii-ob-utverzhdenii-polozheniya-o-federalnom-gornom-i-promishlennom-nadzore-rossii.html
  • thescience.bystrickaya.ru/instrukciya-po-uchastiyu-v-otkritom-zaprose-predlozhenij-4-obshij-poryadok-provedeniya-zaprosa-predlozhenij-4-stranica-9.html
  • universitet.bystrickaya.ru/struktura-dissertacii-formirovanie-professionalno-kommunikativnoj-kompetencii-budushih-perevodchikov-v-sisteme.html
  • letter.bystrickaya.ru/nevestu-vivezli-na-smotrini-kak-mi-stroili-budushee-rossii.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/promishlennoe-poluchenie-azotnoj-kisloti.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vedenie-delovoj-besedi-chast-2.html
  • znanie.bystrickaya.ru/analiz-effektivnosti-deyatelnosti-ooo-bosko-kafe-i-razrabotka-predlozhenij-po-ee-povisheniyu.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/moskva-kreml-kitaj-gorod.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/uroki-60-65-stranica-2.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/nedelya-molchaniya-vremya-novostej-vignanskij-mihail-07062006-98-str-5-gosduma-rf-monitoring-smi-7-iyunya-2006-g.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebnoe-posobie-adresovano-studentam-fakultetov-i-otdelenij-po-podgotovke-i-perepodgotovke-specialistov-po-socialnoj-reabilitacii-detej-s-ogranichennimi-vozmozhnostyami-stranica-4.html
  • crib.bystrickaya.ru/kak-reklamiruyutsya-kompyuternie-programmi.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-discipline-sd-04-proektirovanie-cehov-i-uchastkov-po-polucheniyu-obrabotke-materialov-i-pokritij-dlya-napravleniya-150600-materialovedenie-i-tehnologiya-novih-materialov-kurs-4-lekcii-34-chasa.html
  • letter.bystrickaya.ru/monten-ili-skeptik-zakoni-duha.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.